XS-001Nâng cao★ Nổi bật🎲 Xác suất

Đề bài

Cho một bảng vuông được tạo thành từ $100 \times 100$ ô vuông đơn vị, diện tích mỗi ô là $1$ . Bạn An chọn ngẫu nhiên một hình vuông thuộc bảng (hình vuông có cạnh nằm trên các đường lưới), sau đó bạn Bảo chọn ngẫu nhiên một ô vuông đơn vị thuộc bảng. Xác suất để ô vuông do bạn Bảo chọn nằm trong hình vuông do bạn An chọn là bao nhiêu $%$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

■ Hình vuông An chọn · ■ Ô Bảo chọn
(Mô hình thu nhỏ — bảng trong đề là 100 × 100 ô)

Lời giải

1. Đếm số hình vuông bạn An có thể chọn Một hình vuông cạnh

k

(với

1 \leq k \leq 100

) muốn nằm gọn trong bảng thì góc trên–trái của nó có

101 - k

lựa chọn theo chiều ngang và

101 - k

lựa chọn theo chiều dọc, tức

(101 - k)^{2}

vị trí.

Cạnh k = 3

Bảng 6×6: hình vuông cạnh 3 có (6−3+1)² = 4² = 16 vị trí. Tổng quát bảng 100×100 cho (101−k)² vị trí.

Vậy tổng số hình vuông trong bảng là:

N = k = 1 \sum 100 (101 - k)^{2} = j = 1 \sum 100 j^{2} = \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} = 338350

2. Xác suất theo từng cỡ hình vuông Bảo chọn ngẫu nhiên

1

trong

10000

ô đơn vị. Nếu An đã chọn hình vuông cạnh

k

thì hình đó phủ đúng

k^{2}

ô, nên xác suất ô của Bảo rơi vào trong là

\frac{k ^{2}}{10 000}

. Hai bạn chọn độc lập nên dùng công thức xác suất toàn phần: lấy trung bình của

\frac{k ^{2}}{10 000}

trên toàn bộ

N

hình vuông, mỗi hình có khả năng được chọn như nhau:

P = \frac{1}{N} k = 1 \sum 100 (101 - k)^{2} \cdot \frac{k ^{2}}{10 000} = \frac{S}{338 350 \cdot 10 000}

với

S = k = 1 \sum 100 k^{2} (101 - k)^{2}

. 3. Tính tổng $S$ Khai triển

(101 - k)^{2} = 10 1^{2} - 2 \cdot 101 k + k^{2}

rồi nhân với

k^{2}

S = 10201 k = 1 \sum 100 k^{2} - 202 k = 1 \sum 100 k^{3} + k = 1 \sum 100 k^{4}

Thay các tổng lũy thừa quen thuộc (

\sum k^{2} = 338350

;

\sum k^{3} = 25502500

;

\sum k^{4} = 2050333330

S = 3451508350 - 5151505000 + 2050333330 = 350336680

4. Kết luận

P = \frac{350 336 680}{3 383 500 000} \approx 0, 10354 = 10, 354 %

Làm tròn đến hàng đơn vị:

P \approx 10 %

Nhận xét. Có thể hiểu nhanh kết quả như sau:

P

chính là *diện tích trung bình* của một hình vuông ngẫu nhiên chia cho diện tích cả bảng. Diện tích trung bình ở đây xấp xỉ

1035

, tức khoảng

10, 35 %

bảng.